Het verifiëren van bewijzen voor zeer moeilijke wiskundige problemen is mogelijk met oneindige kwantumverstrengeling
Een techniek die berust op kwantumverstrengeling (geïllustreerd) breidt het rijk van wiskundige problemen uit waarvoor de oplossing (in theorie) kon worden geverifieerd.
Het is lang een mysterie geweest waarom pure wiskunde zoveel kan onthullen over de aard van de fysieke wereld.
Antimaterie werd ontdekt in de vergelijkingen van Paul Dirac voordat het werd gedetecteerd in kosmische straling. Quarks verschenen in symbolen die Murray Gell-Mann enkele jaren op een servet had geschetst voordat ze experimenteel werden bevestigd. Einsteins vergelijkingen voor zwaartekracht suggereerden dat het universum een decennium aan het uitbreiden was voordat Edwin Hubble het bewijs leverde. Einsteins wiskunde voorspelde ook zwaartekrachtsgolven een volle eeuw voordat kolossen die golven ontdekten (die werden veroorzaakt door botsingen van zwarte gaten – ook voor het eerst afgeleid uit de wiskunde van Einstein).
Nobelprijswinnaar natuurkundige Eugene Wigner zinspeelde op de mysterieuze kracht van wiskunde als de ‘onredelijke effectiviteit van wiskunde in de natuurwetenschappen’. Op de een of andere manier, zei Wigner, bevat wiskunde die is ontwikkeld om bekende verschijnselen uit te leggen aanwijzingen voor nog niet ervaren verschijnselen – de wiskunde geeft meer uit dan er werd ingebracht. “Het enorme nut van wiskunde in de natuurwetenschappen is iets dat grenst aan het mysterieuze en … er is geen rationele verklaring ervoor, ‘Wigner schreef in 1960.
Maar misschien is er een nieuwe aanwijzing over wat die verklaring zou kunnen zijn. Misschien heeft de bijzondere kracht van wiskunde om de fysieke wereld te beschrijven iets te maken met het feit dat de fysieke wereld ook iets te zeggen heeft over wiskunde.
Dat is tenminste een voorstelbare implicatie van een nieuw artikel dat de onderling verbonden werelden van wiskunde, informatica en kwantumfysica heeft opgeschrikt.
In een enorm ingewikkeld 165 pagina’s papier, computer wetenschapper Zhengfeng Ji en collega’s presenteren een resultaat dat doordringt tot de kern van diepe vragen over wiskunde, computers en hun verbinding met de werkelijkheid. Het gaat over een procedure voor het verifiëren van de oplossingen voor zeer complexe wiskundige proposities, zelfs van sommige waarvan men denkt dat ze onmogelijk op te lossen zijn. In wezen komt de nieuwe bevinding neer op het aantonen van een enorme kloof tussen oneindig en bijna oneindig, met enorme implicaties voor bepaalde spraakmakende wiskundige problemen. Om die kloof te zien, blijkt de mysterieuze kracht van de kwantumfysica nodig te zijn.
Alle betrokkenen weten al lang dat sommige wiskundige problemen te moeilijk zijn om op te lossen (althans zonder onbeperkte tijd), maar een voorgestelde oplossing kan vrij gemakkelijk worden geverifieerd. Stel dat iemand beweert het antwoord te hebben op zo’n moeilijk probleem. Hun bewijs is veel te lang om regel voor regel te controleren. Kunt u het antwoord alleen verifiëren door die persoon (de “spreekwoordelijke”) enkele vragen te stellen? Soms ja. Maar waarschijnlijk voor zeer ingewikkelde bewijzen. Als er echter twee bewijzen zijn die beide in het bezit zijn van het bewijs, kunt u door elk van hen enkele vragen te stellen, verifiëren of het bewijs juist is (althans met een zeer grote waarschijnlijkheid). Er is echter een addertje onder het gras: de beproevingen moeten gescheiden worden gehouden, zodat ze niet kunnen communiceren en daarom samenspannen over hoe ze uw vragen moeten beantwoorden. (Deze benadering wordt MIP genoemd, voor interactief multiprover-bewijs.)
Een bewijs verifiëren zonder het daadwerkelijk te zien is niet zo’n vreemd concept. Er zijn veel voorbeelden van hoe een bewoner je kan overtuigen dat ze het antwoord op een probleem kennen zonder je het antwoord te vertellen. Een standaardmethode voor het coderen van geheime berichten is bijvoorbeeld afhankelijk van het gebruik van een zeer groot aantal (misschien honderden cijfers lang) om het bericht te coderen. Het kan alleen worden gedecodeerd door iemand die de priemfactoren kent die, wanneer ze worden vermenigvuldigd, het zeer grote aantal produceren. Het is onmogelijk om die priemgetallen (binnen de levensduur van het universum) te achterhalen, zelfs niet met een leger supercomputers. Dus als iemand je bericht kan decoderen, hebben ze je bewezen dat ze de priemgetallen kennen, zonder je te hoeven vertellen wat ze zijn.
Op een dag kan het echter mogelijk zijn om die priemgetallen te berekenen met een kwantumcomputer van de toekomst. De huidige kwantumcomputers zijn relatief rudimentair, maar in principe zou een geavanceerd model codes kunnen kraken door de priemfactoren voor enorm grote aantallen te berekenen.
Die kracht komt, althans gedeeltelijk, voort uit het vreemde fenomeen dat bekend staat als kwantumverstrengeling. En het blijkt dat kwantumverstrengeling op dezelfde manier de kracht van MIP-testers vergroot. Door een oneindige hoeveelheid kwantumverstrengeling te delen, kunnen MIP-beproevers veel gecompliceerdere bewijzen verifiëren dan niet-quantum MIP-beproevingen.
Het is verplicht om te zeggen dat verstrengeling is wat Einstein ‘spookachtige actie op afstand’ noemde. Maar het is geen actie op afstand en het lijkt gewoon spookachtig. Kwantumdeeltjes (zeg fotonen, lichtdeeltjes) van een gemeenschappelijke oorsprong (zeg maar beide uitgespuugd door een enkel atoom) delen een kwantumverbinding die de resultaten van bepaalde metingen aan de deeltjes koppelt, zelfs als ze ver uit elkaar liggen. Het is misschien mysterieus, maar het is geen magie. Het is natuurkunde.
Stel dat twee testers een voorraad verstrengelde fotonparen delen. Ze kunnen een verificateur ervan overtuigen dat ze voor sommige problemen een geldig bewijs hebben. Maar voor een grote categorie van uiterst gecompliceerde problemen werkt deze methode alleen als de aanvoer van dergelijke verstrengelde deeltjes oneindig is. Een grote verstrengeling is niet voldoende. Het moet letterlijk onbeperkt zijn. Een enorme maar eindige hoeveelheid verstrengeling kan de kracht van een oneindige hoeveelheid verstrengeling niet eens benaderen.
Zoals Emily Conover uitlegt in haar rapport voor Wetenschappelijk nieuws, blijkt deze ontdekking een paar algemeen aanvaarde wiskundige vermoedens niet waar te zijn. Een daarvan, bekend als het probleem van Tsirelson, suggereerde specifiek dat voldoende verstrengeling zou kunnen benaderen wat je zou kunnen doen met een oneindige hoeveelheid. Het probleem van Tsirelson was wiskundig equivalent aan een ander open probleem, bekend als Connes ‘inbeddingstoename, dat te maken heeft met de algebra van operators, het soort wiskundige uitdrukkingen dat in de kwantummechanica wordt gebruikt om hoeveelheden weer te geven die kunnen worden waargenomen.
Het vermoeden van Connes weerleggen en aantonen dat MIP plus verstrengeling kan worden gebruikt om immens ingewikkelde bewijzen te verifiëren, verbaasde velen in de wiskundige gemeenschap. (Een expert vergeleek zijn uitwerpselen bij het horen van het nieuws met bakstenen.) Maar het nieuwe werk zal waarschijnlijk geen onmiddellijke impact hebben in de dagelijkse wereld. Om te beginnen bestaan er geen alwetende bewijzen, en als dat wel het geval zou zijn, zouden het waarschijnlijk toekomstige super-AI quantumcomputers moeten zijn met onbeperkte rekencapaciteit (om nog maar te zwijgen van een onpeilbare energievoorziening). Niemand weet hoe je dat moet doen Ster
trektocht’s eeuw.
Toch zal het nastreven van deze ontdekking mogelijk diepere implicaties opleveren voor wiskunde, informatica en kwantumfysica.
Het zal waarschijnlijk geen licht werpen op controverses over de beste manier om kwantummechanica te interpreteren, zoals informatica-theoreticus Scott Aaronson noteert in zijn blog over de nieuwe bevinding. Maar misschien kan het een soort aanwijzing geven over de aard van oneindigheid. Dat kan ergens goed voor zijn, misschien verhelderend of oneindigheid een zinvolle rol speelt in de realiteit of slechts een wiskundige idealisering is.
Op een ander niveau werpt het nieuwe werk een interessant punt op over de relatie tussen wiskunde en de fysieke wereld. Het bestaan van kwantumverstrengeling, een (verrassend) fysisch fenomeen, stelt wiskundigen op de een of andere manier in staat om problemen op te lossen die strikt wiskundig lijken. Je afvragen waarom natuurkunde wiskunde helpt, is misschien net zo vermakelijk als het overwegen van de onredelijke effectiviteit van wiskunde bij het helpen van natuurkunde. Misschien zal zelfs de een op een dag de ander uitleggen.
